Apunte: Definición de Decibel

[Esto es un paréntesis entre lo que sería la parte 2 y la parte 3 de los apuntes de Acústica. Es un concepto que a mí me resultó simple pero parece que a muchos les cuesta, así que si alguno anda en bolas con respecto al tema ojalá le sirva.]

El dB es una unidad adimensional comparativa basada en escalas logarítmicas, y se utiliza, valga la redundancia, para comparar valores con respecto a un valor de referencia.

Antes de entrar más en detalle, hay que entender qué significa esto de "unidad adimensional comparativa", para lo cual vamos a usar como ejemplo otra unidad adimensional que se utiliza mucho: el porcentaje (%).

A diferencia del dB, el porcentaje se utiliza para darse una idea de qué porción de un total ocupa cierta cantidad.

O sea, que para determinar un porcentaje tenemos que saber:

• El total.
• La cantidad de la cual queremos saber qué porción ocupa.

Digamos, por ejemplo, que se determinó mediante un riguroso estudio estadístico que "el 25% de los fans de Manowar disfruta viendo fotografías de hombres musculosos bien aceitados".

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Ahora, ¿Cómo se llegó a ese valor porcentual?

Lo que se buscó es saber qué tan grande es, dentro del total de fans (o sea, el 100%), la cantidad de fans alegres. Para eso, se tomaron en cuenta los dos valores que mencionamos antes: imaginemos que primero se contó la cantidad total de fans de Manowar y después se anotó cuantos respondieron positivamente a la pregunta "¿Se siente usted agradablemente confundido al ver la portada de un disco de su banda de Heavy Metal favorita?".

Supongamos que en total hay 20.000 fans de Manowar y 5.000 respondieron que sí a la pregunta. Como el porcentaje se basa en escalas lineares, no hay problema en aplicar la regla de tres simple para averiguar:

100%__________ 20.000 fans
?% __________ 5.000 fans curiosos

(5.000 f * 100%)/20.000 f = ?%
25% = ?%


"En un total de 20.000 fans, 5.000 representan un 25%"

Podríamos decir entonces, que una buena fórmula genérica para calcular un porcentaje es:

[(Cantidad interesante) * 100]/(Cantidad total)

El porcentaje es entonces, una unidad comparativa. En este caso, la estamos usando para comparar una cantidad perteneciente a un grupo total respecto a ese total.

Al ser adimensional, el porcentaje nunca va solo, si sacamos una parte de la frase que expresa el porcentaje y la decimos así nomás sin ninguna otra información o aclaración previa, la afirmación pierde sentido: "25% disfruta viendo fotografías de hombres musculosos bien aceitados".


La pregunta que salta como reflejo es "¿25 por ciento de qué?".

Al utilizar unidades adimensionales comparativas es necesario aclarar siempre qué es exactamente lo que se está comparando y cuál es la referencia que se está usando (en este caso el total).

En forma genérica sería algo así:

[porcentaje]% de [nombre del grupo total] [presenta tal característica]

Eso traducido quiere decir: "La cantidad medida se relaciona al total contado de la misma forma que [el porcentaje obtenido] se relaciona a 100".


La idea de esta introducción es que quede claro que las unidades adimensionales que estamos tratando acá no son mediciones sino comparaciones de mediciones basadas en una u otra escala (linear o logarítmica).




Ahora sí, el decibel


Al igual que el porcentaje, el dB es una unidad adimensional y comparativa. Se utiliza para comparar qué tan cerca o lejos está un valor medido de otro valor que se toma como referencia, todo dentro de una escala logarítmica.




Supongamos que un científico alemán (cuándo no) descubre la forma de medir la atracción que siente un fan de Manowar por los miembros de la banda. Llevando a cabo Dios sabrá qué tipo de experimentos, propone como unidad de medición el Manowario, simbolizado así: \m/.

A modo de ejemplo, si se introduce un Manowariómetro en una persona que carece por completo de interés por la banda (por ejemplo Daddy Yankee), el instrumento marcaría "0 \m/"; alguien que respondió afirmativamente a la encuesta mencionada más arriba marcaría "100 \m/"; y 10000 \m/ nos indicarían que estamos en presencia de lo que la química cuántica denomina "True Metal".

Análisis posteriores demuestran que la paciencia humana responde de forma logarítmica ante los fans de Manowar. Al no responder de forma lineal, la lógica y las operaciones comunes no sirven y las reglas del juego cambian. Se hace necesario utilizar una forma de medición que traduzca la escala a una pseudo-linealidad a la cual estamos acostumbrados.

La solución viene de la mano del Bel (B).

Gracias a esta unidad adimensional comparativa, la próxima vez que venga un gordito mechudo a decirte que no sos true metal por escuchar Hughes Turner Project, podrías retrucarle que hay una forma de saber cuán true metal son los dos:

Primero hay que saber que la forma de comparar dos mediciones a través del Bel es sacando el logaritmo en base 10 del cociente entre la primera medición y la segunda medición que tiene el rol de referencia.

Bel = Log [(Medición)/(Referencia)]

La referencia puede ser un valor estándar o simplemente otro valor a comparar con el que medimos.


Entonces, para comparar usando el Bel, tenemos que tener dos cosas:

• Un valor medido.
• Una referencia estándar, o en su defecto otro valor medido del mismo tipo que el anterior.
  

Para el ejemplo, digamos que la referencia estándar en nuestra escala es de 20 \m/, que corresponde al manowaraje frente al cual la paciencia de una persona nota fehacientemente la presencia de un fan de Manowar. Si te estás preguntando "¿por qué la referencia no puede ser 0?" debería darte vergüenza porque a esta altura de la vida tendrías que saber que no se puede dividir por cero.

A menos que...

Tener una referencia estándar significa que si la medición que tomamos es igual a dicha referencia, el resultado de la operación es 0 Bel. De esto se deduce que la marca de 0 Bel no es absoluta, sino que depende de la referencia. En otras palabras, dependiendo de la referencia que tomemos, vamos a obtener un 0 y una escala diferentes.

En nuestra escala:

0 B = Log [(20 \m/) / (20 \m/)]

Matemáticamente tiene sentido: cualquier número dividido sobre sí mismo da 1, y el logaritmo en base 10 de 1 es 0.


Para hacer la comparación del ejemplo tenemos entonces dos caminos:

• Sacar el logaritmo del cociente entre una medición y la otra;
• Sacar el logaritmo del cociente entre cada medición y la referencia estándar (20 \m/), y ver cuánta diferencia hay entre ambos resultados.

Yendo por la primera opción, supongamos que el gordito mechudo marca 20000 \m/ y vos 2000 \m/. Entonces el cálculo sería el siguiente:

x B = Log (20000 \m/ / 2000 \m/)

Log 10 = 1


"Según la percepción humana, hay una diferencia de 1 Bel entre uno y otro."

Ahora lo hacemos de la otra forma:

Para uno:
x B = Log (20000 \m/ / 20 \m/)
Log 1000 = 3

"El gordito mechudo está 3 Bels sobre el 0 de la escala."


Para el otro:
x B = Log (2000 \m/ / 20 \m/)
Log 100 = 2

"Vos marcás 2 Bels sobre el 0 de la escala."

La diferencia entre uno y otro sigue siendo de 1 Bel.

Te resultará inevitable notar, mientras Ricardito se va al baño a "sacarse la basurita del ojo", que hizo falta saltar de dos mil a veintemil manowarios para variar un sólo puto Bel en la escala. Teniendo en cuenta que el límite humano de tolerancia es de 2.000.000 \m/ (umbral del dolor), hacemos las cuentas y eso nos deja una escala con una extensión de 5 cochinos Bels. Con tan pocos números enteros dentro de la escala, se vuelve incómodo manejar variaciones relativamente sutiles y estaríamos usando todo el tiempo valores decimales (0,3 Bel; 1,5 Bel; etc), cosa que no es para nada práctica. La solución es sacar al carajo la coma decimal multiplicando el cálculo [Log (x/y)] por 10. La unidad adimensional comparativa que resulta de hacer ese trámite se llama Decibel (dB).

La forma de comparar dos mediciones usando el dB es:

x dB = 10 * Log [(Medición)/(Referencia)]

Quizás alguno haya deducido esto ya, pero por las dudas lo dejo explícito: Se puede, a partir de una cantidad dada de dB y una referencia, averiguar la medición de la que estamos hablando. Esto se logra usando la "operación" inversa al logaritmo, que no es otra cosa que aplicar su definición.


Tenemos 45 dB (en escala Manowar) y sabemos que la referencia es 20 \m/:

[Cálculos previos]
45 = 10 Log (x / (20 \m/)]
45 / 10 = Log (x / (20 \m/)]
4,5 = Log x - (Log 20 \m/)
4,5 = Log x - 1,3
4,5 - 1,3 = Log x
3,2 = Log x

[Aplicamos la definición de logaritmo]
10^3,2 = x
1.584,9 \m/ = x

Una cosa que queda por aclarar es que el hecho de que la escala tenga un 0 no quiere decir que una comparación no pueda alcanzar valores negativos. Cualquier medición menor a la referencia da un resultado en dB negativo. De hecho, es perfectamente posible tender a -∞dB.

Por ejemplo, mi perro marcaría 10 \m/ en un manowariómetro:

x dB = 10 Log (10 \m/ / 20 \m/)
10 * Log 0,5 = 10 * (-0,3)

= -3 dB

Aplicaciones en Audio

EL oído humano responde a las variaciones de intensidad sonora de forma más o menos logarítmica, no lineal. Además, según se viene experimentando, nos cuesta decir exactamente qué intensidad tiene un sonido que escuchamos, pero no tenemos mucho problema en distinguir la diferencia de intensidad entre dos sonidos. Por eso el dB es perfecto para manejar información relacionada con el audio, donde todo se basa en la forma en que nosotros percibimos el sonido.


El umbral de audición, o sea, la mínima presión bajo la cual el aparato auditivo comienza a percibir sonido es de 20 µPA (veinte micropascales). Ésta es la referencia estándar cuando hablamos de nivel de presión sonora (SPL), es decir, la que determina el 0 dB_SPL. El umbral del dolor (la presión que podemos soportar hasta que empezamos a sentir dolor) está al rededor de los 140 dB_SPL.

0 dB_SPL = 10 Log [20 µPA / 20 µPA]

Algunas escalas comunes con sus referencias:


Potencia sonora:

0 dB_Lw = 10 Log (W₁ / 2*10^-12 W)

[La referencia coincide con el umbral de audición]


Potencia Eléctrica:

0 dBW = 10 Log (W₁ / 1 W)

0 dBm = 10 Log (W₁ / 1 mW)

Voltaje:

0 dBu = 10 Log (V₁ / 0,7746 V)

0 dBv = 10 Log (V₁ / 1 V)